Question

已知数列{b_n}中，b1=

11

7

，bn+1=1+

2

bn

，数列{a_n}满足：an=

1

bn-2

(n∈N*)．
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（4）求证：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）根据b1=

11

7

，求得a1=-

7

3

，从而b2=

25

11

a2=

11

3

；
（2）将bn+1=1+

2

bn

代入得到：an+1=

1

bn+1-2

=

1

bn+2 bn -2

=

bn

2-bn

=-2an-1即可证得：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）由（2）所得结论变形得到：an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)从而得出数列{an+

1

3

}是以-2为首项，公比为-2的等比数列，最后利用等比数列的通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式；
（4）由（3）得出数列{a_n}的通项公式写出数列bn，下面对n进行奇偶数讨论：①当n为偶数时②当n为奇数时，分别利用等比数列的前n项结合不等式的放缩即可得到证明．

解答：解：（1）∵b1=

11

7

∴a1=-

7

3

∴b2=

25

11

a2=

11

3

…（3分）
（2）证明：∵an+1=

1

bn+1-2

=

1

bn+2 bn -2

=

bn

2-bn

=-2an-1∴a_n+1+2a_n+1=0…（5分）
（3）∵a_n+1=-2a_n-1∴an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)…（6分）
又 a1+

1

3

=-2 ≠0∴数列{an+

1

3

}是以-2为首项，公比为-2的等比数列…（7分）
∴an+

1

3

=(-2)n∴an=(-2)n-

1

3

…（8分）
（4）bn=

1

an

+2=

1

(-2)n- 1 3

+2∴(-1)nbn=2•(-1)n+

1

2n- 1 3 •(-1)n

当n为奇数时（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1=

1

2n+ 1 3

+

1

2n+1- 1 3

=

2n+2n+1

(2n+ 1 3 )(2n+1- 1 3 )

＜

2n+2n+1

2n•2n+1

=

1

2n

+

1

2n+1

，
①当n为偶数时，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

＜

1 2

1- 1 2

=1，
②当n为奇数时，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

-2+

1

2n+ 1 3

＜

1 2

1- 1 2

-2+

1

2n+ 1 3

=

1

2n+ 1 3

-1＜1…（11分）
综上所述：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1…（12分）

点评：本小题主要考查数列递推式、数列与不等式的综合、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．