Question

【题目】如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；

△DEF∽△ABC，又AB=2DE，

∴BC=2EF=2BH，

∴四边形EFHB为平行四边形；

∴BE∥HF，HF平面FGH，BE平面FGH；

∴BE∥平面FGH；

同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；

又DE∥AB；

∴DE∥GH；

∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；

∴平面BDE∥平面FGH，BD平面BDE；

∴BD∥平面FGH；

（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；

∵CF⊥平面ABC；

∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；

∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：

H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；

连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；

∴BG⊥AC；

又CF⊥平面ABC，BG平面ABC；

∴BG⊥CF，AC∩CF=C；

∴BG⊥平面ACFD；

∴向量 为平面ACFD的法向量；

设平面FGH的法向量为 ，则：

，取z=1，则： ；

设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos |= ；

∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．

【解析】(1)根据AB=2DE,可得到BC=2EF,证出EFHB为平行四边形,故BE∥HF,便有BE∥面FGH,再证明DE∥平面FGH,从而得到片BDE∥面FGH,结果得证;(2)连接HE,证明出HC,HG,HE三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,以H为坐标原点建立空间直角坐标系,由向量法可得平面FGH与平面ACFD所成角的大小.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．