Question

18．已知圆C：x²+（y-a）²=4，点A（1，0）．
（1）当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的范围；
（2）设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当MN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，求MN所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由直线与圆的位置关系，得当点A在圆外或圆上过点A的圆C的切线存在．再由点与圆的位置关系，建立关于a的不等式，解之即得实数a的取值范围；
（2）根据圆的对称性得到|DM|=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．利用垂径定理算出CD的长度，在Rt△MCD中，算出cos∠MCD的值，得cos∠MCA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，然后在Rt△MCA中利用解三角形知识算出AC长，结合|OC|=2得出|AM|=1．由题意知MN是以A为圆心、半径为AM的圆与圆C的公共弦，由此列式即可求出MN所在直线的方程．

解答 解：（1）由题意，A在圆上或圆外，则1²+（0-a）²≥4，∵a$≤-\sqrt{3}$或a$≥\sqrt{3}$；
（2）如图，设MN与AC交于D点
由|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，得|DM|=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
又∵|MC|=2，∴由垂径定理，得|CD|=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴Rt△MCD中，cos∠MCD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，即cos∠MCA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
∵Rt△MCA中，|AC|=$\sqrt{5}$，∴|OC|=2，|AM|=1
MN是以A为圆心、半径为AM的圆与圆C的公共弦，
∵圆A的方程为：（x-1）²+y²=1，圆C的方程的方程为：x²+（y-2）²=4或x²+（y+2）²=4，
∴MN所在直线方程为（x-1）²+y²-1-x²-（y-2）²+4=0即x-2y=0；
或（x-1）²+y²-1-x²-（y+2）²+4=0即x+2y=0，
综上所述，直线MN得方程为x-2y=0或x+2y=0．

点评 本题考查了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆的标准方程和圆的简单几何性质等知识，属于中档题．