Question

 已知函数，数列满足：

．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）求证不等式：

Answer 1

如下

解析:

（Ⅰ）

       

      当时，，即是单调递增函数；

      当时，，即是单调递减函数；

     所以，即是极大值点，也是最大值点

    ，当时取到等号．          5分

（Ⅱ）由得

    

   方法1 

         

        

   即数列是等差数列，首项为，公差为

   ∴                                              

方法2利用函数不动点

方法3利用观察、归纳、猜想、数学归纳法证明

（Ⅲ）

                   

     又∵时，有

     令，则

∴

                      

∴