Question

已知函数f（x）=x³-9x²cosα+48xcosβ，g（x）=f'（x），且对任意的实数t均有g（1+e^-|t|）≥0，g（3+sint）≤0．
（I）求g（2）；
（II）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）记函数h（x）=f（x）-

2

3

x3+(a+9)x2-（b+24）x（a，b∈R），若y=h（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（I）由题得，g（x）=3x²-18xcosα+48cosβ，又1+e^-|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，从而g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，最后得出g（2）的值即可；
（II）先求出g（x）=0的另一根的取值范围，得出2+x₀=6cosα，最后得到得cosα=1，cosβ=

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2

的值，代入函数解析式即可；
（III）由题意得出关于a，b的不等关系：

2a+b-1≥0 4a-b+4≤0.

，作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划的方法解决即可．

解答：解：（I）由题得，g（x）=3x²-18xcosα+48cosβ，又1+e^-|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，
知g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，
所以g（2）=0…（5分）
（II）设g（x）=0的另一根为x₀，由条件得x₀≥4，而2+x₀=6cosα，
所以6cosα≥6，又6cosα≤6，所以6cosα=6，得cosα=1，cosβ=

1

2

，
即f（x）=x³-9x²+24x．                   
（Ⅲ）∵y=h（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，∴h′（x）=x²+2ax-b≤0在区间[-1，2]上恒成立．                    
根据二次函数图象可知h′（-1）≤0且h′（2）≤0，
即：

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

也即

2a+b-1≥0 4a-b+4≤0.

]
作出不等式组表示的平面区域如图：
当直线z=a+b经过交点P（-

1

2

，2）时，z=a+b取得最小值z=-

1

2

+2=

3

2

，
∴z=a+b取得最小值为

3

2

…（15分）

点评：本题考查待定系数法求解析式、函数与方程的综合运用、简单线性规划的应用问题，解答线性规划的问题的关键是应用数形结合思想方法，综合性强，难度较大．