Question

【题目】已知函数f（x）= ，x∈R，a∈R．
（1）a=1时，求证：f（x）在区间（﹣∞，0）上为单调增函数；
（2）当方程f（x）=3有解时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：a=1时，f（x）= ，

x＜0时，f（x）= ，

令x1＜x2＜0，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

∵x1＜x2＜0，

∴（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为单调增函数

（2）解：由f（x）= =3，

得：ax=3|x|+2，

画出函数y=ax和y=3|x|+2的图象，如图示：

，

结合图象，a＞3或a＜﹣3．

【解析】（1）求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义证明即可；（2）问题转化为函数y=ax和y=3|x|+2有交点，从而求出a的范围即可．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．