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9.已知数列{an}是等差数列,且满足a1+a2+a3=6,a5=5;数列{bn}满足bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),b1=1.
(1)求an和bn
(2)记数列cn=$\frac{1}{2{b}_{n}+4n}$,(n∈N*),求{cn}的前n项和为Tn

分析 (1)设等差数列{an}的公差为d,由a1+a2+a3=6,a5=5,可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+4d=5}\end{array}\right.$,解得a1,d,即可得出.由于数列{bn}满足bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),b1=1.利用bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1即可得出.
(2)数列cn=$\frac{1}{2{b}_{n}+4n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,利用“裂项求和”即可得出.

解答 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a2+a3=6,a5=5;
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+4d=5}\end{array}\right.$,解得a1=d=1.
∴an=1+(n-1)=n.
∵数列{bn}满足bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*),b1=1.
∴bn-bn-1=n-1.
∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=(n-1)+(n-2)+…+1+1
=$\frac{n(n-1)}{2}$+1.
(2)数列cn=$\frac{1}{2{b}_{n}+4n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,
∴{cn}的前n项和Tn=$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$+…+$(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2n+4}$.

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、“累加求和”方法、递推关系由于,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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