Question

设四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E为PD的中点．
（1）求证：直线PB∥面ACE
（2）求证：直线AE⊥面PCD
（3）若二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）在平面内找到一条直线与平面外的已知直线平行，即可得到线面平行．
（2）分别证明平面内的两条相交与已知直线垂直，根据线面垂直的判断定理可得线面垂直．
（3）首先作出二面角的平面角，再证明此角既是所求角，然后把角放入三角形中利用解三角形的有关知识求解即可得到答案．

解答：解：（1）连接BD交AC于点O，连接OE
易知：O为BD的中点
而E为PD的中点∴OE∥PB
又PB不在平面ACE内，OE在平面ACE内
∴PB∥平面ACE        
（2）∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又正方形ABCD∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD故：CD⊥AE
∵在直角三角形PAD中，PA=AB=AD，E为PD的中点∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD
（3）过E作EF⊥PC于F，连接AF
由（2）知：AF在面PCD内的射影为EF∴AF⊥PC
故：二面角A-PC-D的平面角为∠AFE        
由于PA=AB=AD=2，在直角三角形AEF中，易知：AE=

2

，AF=

2 6

3

∴sin∠AFE=

AE

AF

=

3

2

∴∠AFE=60°  即：二面角A-PC-D的大小为60°

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，结合已知条件进而证明线面平行，线面垂直以及求出二面角的平面角．