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已知奇函数fx)的定义域为(-00,+),且fx)在(0,+)上是增函数,f1)=0.函数gx)=mx12mx∈[01]

  ()证明函数fx)在(-0)上是增函数;

  ()解关于x的不等式fx)<0

  ()当x∈[01]时,求使得gx)<0f [gx]0恒成立的m的取值范围.

 

答案:
解析:

(Ⅰ)证明:任取,且,则,且

           fx)是奇函数,∴    ①

         又fx)在(0,+∞)上是增函数  ∴    ②

         由①,②得,即

 故函数fx)在(-∞,0)上是增函数

(Ⅱ)奇函数fx)满足f(1)=0,且fx)在(0,+∞)上是增函数,

    ∴  若x>0,fx)<0,得fx)<f(1),因而0<x<1 

同理可求在x∈(-∞,0)上,若fx)<0,则x<-1.

    综上,使fx)<0的x的取值范围是:(-∞,-1)(0,1)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,fgx)〕<0,即gx)<-1或0<gx)<1

    ∴  依题得gx)<-1,

    因此,所求m范围就是关于x的不等式gx)<-1,

对任意x∈〔0,1〕恒成立时的m的取值范围.由gx)<-1,得 

  即=-〔〕+4

  ∵   

∴  -〔〕+4≤

  当且仅当2x,即时,等号成立.

    从而得出

 


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