Question

已知f（x）=e^x-ax+b，
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个零点，求a和b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求函数的导数，即可求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个零点，求出函数的极值，即可求a和b的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=e^x-x+b，
函数的导数f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1＞0，解得x＞0，
由f′（x）=e^x-1＜0，解得x＜0，
即f（x）的单调递增区间为（0，+∞），递减求解为（-∞，0）；
（2）函数的导数f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）＞0，函数单调递增，不满足条件，
则a＞0，
由由f′（x）=e^x-a＞0，解得x＞lna，
由f′（x）=e^x-a＜0，解得x＜lna，
即当x=lna时，函数f（x）取得极小值f（lna）=e^lna-alna+b=a-alna+b，
若f（x）有两个零点，
则f（lna）=a-alna+b＜0，
即b＜alna-a，
则a＞0，b＜alna-a．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，以及函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．