定义:若数列满足.则称数列为“平方数列 .已知数列中..点在函数的图像上.其中为正整数. ⑴证明:数列是“平方数列 .且数列为等比数列. ⑵设⑴中“平方数列的前项之积为.即.求数列的通项及关于的表达式. ⑶记.求数列的前项之和.并求使的的最小值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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定义：若数列满足，则称数列为“平方数列”。已知数列中，，点在函数的图像上，其中为正整数。

⑴证明：数列是“平方数列”，且数列为等比数列。

⑵设⑴中“平方数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。

⑶记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。

（Ⅰ）由条件a_n_＋1＝2a_n²＋2a_n，得2a_n_＋1＋1＝4a_n²＋4a_n＋1＝(2a_n＋1)²．∴{b_n}是“平方数列”．

∴lgb_n_＋1＝2lgb_n．∵lg(2a₁＋1)＝lg5≠0，∴＝2．∴{lg(2a_n＋1)}为等比数列．

（Ⅱ）∵lg(2a₁＋1)＝lg5，∴lg(2a_n＋1)＝2ⁿ^－1×lg5，∴2a_n＋1＝5，∴a_n＝(5－1)．[来源:Zxxk.Com]

∵lgT_n＝lg(2a₁＋1)＋lg(2a₂＋1)＋…＋lg(2a_n＋1)＝＝(2ⁿ－1)lg5．

∴T_n＝5．

（3）c_n＝＝＝＝2－，

∴S_n＝2n－[1＋＋＋…＋]＝2n－＝2n－2[1－]＝2n－2＋2．

由S_n＞4020得2n－2＋2＞4020，n＋＞2011，

当n≤2010时，n＋＜2011，当n≥2011时，n＋＞2011，∴n的最小值为2011．

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定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=2a_n²+2a_n，其中n为正整数．
（1）设b_n=2a_n+1，证明：数列{b_n}是“平方递推数列”，且数列{lgb_n}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”{b_n}的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式；
（3）记c_n=

log

2an+1

，求数列{c_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2008的n的最小值．

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（Ⅰ）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项公式及T_n关于n的表达式．
（Ⅲ）记bn=log(1+2an)Tn，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2010的n的最小值．

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（2009•虹口区一模）（1）定义：若数列{d_n}满足d_n+1=d_n²，则称{d_n}为“平方递推数列”．已知：数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n²+2a_n．
①求证：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”；
②求证：数列{lg（2a_n+1）}是等比数列；
③求数列{a_n}的通项公式．
（2）已知：数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=p²b_n³+3pb_n²+3b_n（p＞0），求：数列{b_n}的通项．

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