【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,点P在底面ABCD上的射影为A,BC=CD= AD=1,E为棱AD的中点,M为棱PA的中点.
(1)求证:BM∥平面PCD;
(2)若∠ADP=45°,求二面角A﹣PC﹣E的余弦值.
【答案】
(1)证明:法一:取PD的中点N,连接MN,CN.
在△PAD中,N、M分别为棱PD、PA的中点∴
∵ ∴四边形BCNM是平行四边形∴BM∥CN
∵BM平面PCD,CN平面PCD∴BM∥平面PCD…(5分)
(法二:连接EM,BE.
在△PAD中,E、M分别为棱AD、PA的中点∴MN∥PD
∵AD∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形∴BE∥CD∵BE∩ME=E,MN∥PD,BE∥CD
∴平面BEM∥平面PCD∵BM平面BEM∴BM∥平面PCD)
(2)以A为原点,以 , 的方向分别为x轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz…(6分)
则A(0,0,0),C(2,1,0),E(1,0,0).
∵点P在底面ABCD上的射影为A
∴PA⊥平面ABCD
∵∠ADP=45°∴PA=AD=2
∴P(0,0,2)
∴ , ,
设平面PAC的一个法向量 ,
则
设a=1,则
设平面PCE的一个法向量为 ,
则 ,
设x=2,则
∴cos = =
由图知:二面角A﹣PC﹣E是锐二面角,设其平面角为θ,则
cosθ=|cos |=
【解析】(1.)法一:取PD的中点N,连接MN,CN.证明BM∥CN,然后证明BM∥平面PCD. (法二:连接EM,BE.通过证明平面BEM∥平面PCD,然后证明BM∥平面PCD)(2.)以A为原点,以 , 的方向分别为x轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz求出相关点的坐标,求出平面PAC的一个法向量,平面PCE的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A﹣PC﹣E的余弦函数值.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定,需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能得出正确答案.
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【题目】某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45
B.50
C.55
D.60
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【题目】已知F是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点,A,B分别为其左、右顶点.O为坐标原点,D为其上一点,DF⊥x轴.过点A的直线l与线段DF交于点E,与y轴交于点M,直线BE与y轴交于点N,若3|OM|=2|ON|,则双曲线的离心率为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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【题目】已知函数f(x)=2x+1,数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn , 且b1=2,Tn=bn+1﹣2(n∈N).
(1)分别求{an},{bn}的通项公式;
(2)定义x=[x]+(x),[x]为实数x的整数部分,(x)为小数部分,且0≤(x)<1.记cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=3,n=3,输入的a依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始), 直到结束为止,则输出的s=( )
A.9
B.27
C.32
D.103
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【题目】已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|,不等式f(x)≥t对x∈R恒成立.
(1)求t的取值范围;
(2)记t的最大值为T,若正实数a,b满足a2+b2=T,求证: ≤ .
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【题目】下列命题中,错误的命题个数有( )
①是为奇函数的必要非充分条件;
②函数是偶函数;
③函数的最小值是;
④函数的定义域为,且对其内任意实数、均有:,则在上是减函数.
A.B.C.D.
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【题目】司机在开机动车时使用手机是违法行为,会存在严重的安全隐患,危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况,交警部门调查了100名机动车司机,得到以下统计:在55名男性司机中,开车时使用手机的有40人,开车时不使用手机的有15人;在45名女性司机中,开车时使用手机的有20人,开车时不使用手机的有25人.
(Ⅰ)完成下面的2×2列联表,并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关;
开车时使用手机 | 开车时不使用手机 | 合计 | |
男性司机人数 | |||
女性司机人数 | |||
合计 |
(Ⅱ)以上述的样本数据来估计总体,现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆,记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X,若每次抽检的结果都相互独立,求X的分布列和数学期望E(X).
参考公式与数据: ,其中n=a+b+c+d.
P(Χ2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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