Question

已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是单调减函数，求a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求切点坐标，即可求m的值；
（2）利用f（x）在[1，2]上是单调减函数，可得f′(x)=lnx+1-

a

x

≤0在[1，2]上恒成立，分离参数，求最值，即可求得a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，等价于-e≤（x-a）lnx≤e，|f（x）|≤e恒成立，分离参数，求最值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1
∵直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，∴lnx+1=2，∴x=e
∵f（e）=e，∴切点为（e，e），∴m=-e；
（2）f′(x)=lnx+1-

a

x

∵f（x）在[1，2]上是单调减函数，
∴f′(x)=lnx+1-

a

x

≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，则g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上单调递增
∴a≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值为2ln2+2；
（3）|f（x）|≤e等价于-e≤（x-a）lnx≤e
当x=1时不等式恒成立
当x∈（1，2e]时，-

e

lnx

≤x-a≤

e

lnx

∴x-

e

lnx

≤a≤x+

e

lnx

设h（x）=x+

e

lnx

，t（x）=x-

e

lnx

，则t（x）_max≤a≤h（x）_min，
由h′(x)=

xln2x-e

xln2x

，∵h′（e）=0
令s（x）=xln²x-e，x∈[1，2e]，则s′（x）=ln²x+lnx＞0
∴h（x）在[1，2e]上单调递增，∴h（x）_min=h（e）=2e，
∵t′（x）=1+

e

xln2x

＞0，∴t（x）在[1，2e]上单调递增，
∴t（x）_max=t（2e）=2e-

e

ln2e

综上，2e-

e

ln2e

≤a≤2e．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，分离参数求最值是关键．