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已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆
的轨迹为
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.

解:(Ⅰ)由题知圆圆心为,半径为,设动圆的圆心为
半径为,由,可知点在圆内,所以点的轨迹是以为焦点
的椭圆,设椭圆的方程为,由,得
故曲线的方程为     ………………………6分
(Ⅱ)当时,由可得
时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点
时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点
时得,代入,消去整理得:
--------------------------------① ………………9分
由点为曲线上一点,故.即
于是方程①可以化简为:
解得.将代入,说明直线与曲线有且只有一个交点
综上,不论点在何位置,直线与曲线恒有且只有一个交点,交点即.                ……………………………………………12分

解析

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(03年北京卷理)(13分)

已知动圆过定点P(1,0),且与定直线相切,点C在l上.

   (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程;

   (Ⅱ)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A,B两点.

        (i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由;

        (ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2011届贵州省五校高三第五次联考理科数学(暨遵义四中第13次月考) 题型:解答题

已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆
的轨迹为
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.
(Ⅲ)由(Ⅱ)你能否得到一个更一般的结论?并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明).

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年贵州省第13次月考) 题型:解答题

已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆

的轨迹为

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年贵州省第五校高三第五次联考理科数学(暨遵义四中13次月考) 题型:解答题

已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆

的轨迹为

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.

(Ⅲ)由(Ⅱ)你能否得到一个更一般的结论?并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明).

 

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