Question

椭圆两焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），P在椭圆上，若△PF₁F₂的面积最大值为12，则该椭圆的离心率是

3

5

．

Answer 1

分析：由题意得c=3，根据椭圆的性质得当点P落在短轴的端点时，△PF₁F₂的面积最大，结合题意解出b=4，再用平方关系算出a的值．最后根据椭圆离心率公式，即可算出本题的答案．

解答：解：∵椭圆两焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴椭圆的焦距2c=|F₁F₂|=6
∵P在椭圆上，△PF₁F₂的面积最大值为12，
∴当点P落在短轴的端点时，△PF₁F₂的面积S=

1

2

×|F₁F₂|×b=12
即3b=12，得b=4，所以a=

b2+c2

=5
因此，该椭圆的离心率是e=

c

a

=

3

5

故答案为：

3

5

点评：本题给出椭圆的焦距和焦点三角形面积的最大值，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．