Question

设x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x的一个极值点．
（1）求a与b的关系式（用a表示b），
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）在区间[-1，

3

2

]上存在零点，求a的取值范围；
（4）设a＞0，g(x)=(a2+

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4

)ex．若存在x₁，x₂∈[0，4]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一个极值点是x=3．我们根据函数在某点取得极值的条件，易得f′（3）=0，进而构造方程求出a与b的关系式；
（2）消去b得到函数，然后求出导函数，分析函数在各个区间上的导数符号，即可得到答案．
（3）函数f（x）在区间[-1，

3

2

]上存在零点即（x²+ax+b）e^3-x=0在区间[-1，

3

2

]上有根，然后将a分离，研究等式另一侧的值域即可求出a的范围；
（4）根据g（x）=（a²+

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4

）e^x，利用导数法确定函数的单调性，再根据（1）的结论，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=-[x ²+（a-2）x+b-a]e^3-x
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-x=0，即得b=-3-2a---（3分）
（2）f′（x）=-[x²+（a-2）x-3-2a-a e^3-x=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x
=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
①由于x=3是极值点，所以3+a+1≠0，那么a≠-4----------（4分）
②当a＜-4时，x₂＞3=x₁，则f（x）增区间为（3，-a-1），减区间为 （-∞，3）（-a-1，+∞）--（5分）
③当a＞-4时，x₂＜3=x₁，f（x）增区间为（-a-1，3），减区间为（-∞，-a-1）（3，+∞）---（6分）
（3）函数f（x）在区间[-1，

3

2

]上存在零点即（x²+ax+b）e^3-x=0在区间[-1，

3

2

]上有根
所以x²+ax-3-2a=0即a=

x2-3

2-x

在区间[-1，

3

2

]上有根----------（7分）
令u(x)=

x2-3

2-x

，则u/(x)=

-(x-1)(x-3)

(2-x)2

则u（x）在[-1，1]上递减，在[1，

3

2

]递增，------------------（9分）
又u(-1)=-

2

3

，u(1)=-2，u(

3

2

)=-

3

2

所以u（x）的值域为[-2，-

2

3

]
所以a∈[-2，-

2

3

]时，函数f（x）在区间[-1，

3

2

]上存在零点----------（10分）
（4）当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的递增，在区间（3，4）上递减，
而f （0）=-（2a+3）e³＜0，f （4）=（2a+13）e^-1＞0，f （3）=a+6
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]------（12分）
又g(x)=(a2+

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4

)ex．在区间[0，4]上是增函数
它在区间[0，4]上的值域是[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]--------（13分）
由于(a2+

25

4

)-(a+6)=a2-a+

1

4

=(a-

1

2

)2≥0，
所以只须(a2+

25

4

)-(a+6)＜1且a＞0，
解得0＜a＜

3

2

-----------------------（15分）

点评：本题主要考查了函数的极值和函数的单调性，以及零点问题和恒成立问题，是一道综合题，考查的知识点较多，属于中档题．