Question

设函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；
（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）在的最大值为，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点Q的坐标为（x'，y'），利用x'=x-2a，y'=-y，转化x=x'+2a，y=-y'．通过点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上，代入即可得到函数y=g（x）的解析式；
（2）通过x∈[a+2，a+3]，求出|f（x）-g（x）|的最大值，利用最大值≤1，即可确定a的取值范围；
（3）利用把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，求出h（x）的解析式，通过函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）求出F（x）的不等式，通过二次函数在的最大值为，求a的值．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上
∴-y'=log_a（x'+2a-3a），即
∴
（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
∵|f（x）-g（x）|≤1∴，r（x）=x²-4ax+3a²对称轴为x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上为增函数，
∴函数在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[u（x）]_max=u（a+2）=log_a（4-4a）．
[u（x）]_min=u（a+3）=log_a（9-6a），

∴
（3）由（1）知，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则，
∴，
即F（x）=-a²x²+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为，又在的最大值为，
①令；此时F（x）在上递减，∴F（x）的最大值为，此时无解；
②令，又a＞0，且a≠1，∴；此时F（x）在上递增，∴F（x）的最大值为，又，∴无解；
③令且a＞0，且a≠1
∴，此时F（x）的最大值为，
解得：，又，∴；
综上，a的值为．
点评：本题考查函数的解析式的求法，坐标变换，函数的最值的应用，函数恒成立问题，二次函数闭区间上的最值问题的求解，综合知识点多，难度较大．