Question

规定，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数 (n、m是正整数，且m≤n)的一种推广。

(I)求的值。

(II)组合数的两个性质；①；②。是否都能推广到 (x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

(III)已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z。

Answer 1

解析：(I)

　(II)性质①不能推广,例如当x=时，有定义，但无意义；

　　性质②能推广，它的推广形式是，x∈R，m是正整数，事实上

　当m=1时，有，

当m≥2

==

　(III)当x≥m时，组合数∈Z。

　　当0≤x<m时， =0∈Z。

　　当x<0时，∵-x+m-1>0，

　　∴∈Z