Question

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

．
（1）求锐角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据

m

⊥

n

，

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)

m

•

n

=0可得，2sin(2B+

π

3

)=0，又因为0＜B＜

π

2

，得到答案B=

π

3

．
（2）根据余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，有根据基本不等式可知2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac∴ac≤4（当且仅当a=c时取到等号）
代入s△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，得到答案．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)

m

•

n

=0

m

•

n

=(2sinB，

3

)•(2cos2

B

2

-1，cos2B)
=2sinB(2cos2

B

2

-1)+

3

cos2B_ =sin2B+

3

cos2B
=2sin(2B+

π

3

)=0
又∵0＜B＜

π

2

，∴2B+

π

3

=π，∴B=

π

3

（2）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
∴2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac∴ac≤4（当且仅当a=c时取到等号）
∴s△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

∴△ABC的面积S_△ABC的最大值为

3

点评：本题主要考查向量数量积和向量垂直之间的关系．即两向量互相垂直时二者的数量积等于0．