Question

已知P：对任意恒成立； Q：函数f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在极大值和极小值．求使“P且?Q”为真命题的m的取值范围．

Answer 1

解：“P且?Q”为真命题．则P为真命题，Q为假命题．
P：对任意恒成立．
应有|m-5|≤3，
解得2≤m≤8．
Q：函数f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在极大值和极小值，
f'（x）=3x²+2mx+m+6
若存在极大值和极小值有△=4m²-12（m+6）＞0．
得m＞6或m＜-3．
?Q为真命题，则-3≤m≤6．
则“P且?Q”为真命题的m的取值范围是[2，6]
分析：判断出p是真命题q为假命题，若p真，求出在a∈[1，2]上的最大值，令|m-5|小于等于最大值解不等式求出m的范围，若q真，令f（x）的导函数的判别式大于0，求出m的范围，求出q假m的范围；求出p真q假m的范围．
点评：解决不等式恒成立问题常采用的方法是分离出参数，构造新函数，求函数的最值；求复合命题真假的问题常转化为构成复合命题的简单命题的真假问题来处理．