Question

（2012•太原模拟）设函数f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g(x)=x2．
（1）若a=

1

2

时，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于同一点，求切线l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．
说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（2）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．

解答：解：（1）若a=

1

2

时，
∵f′(x)=

1

2

(1-

1

x2

)+

2

x

=

x2+4x-1

2x2

，g'（x）=2x
因为直线l与函数f（x）、g（x）的图象相切于同一点，
从而有：

x2+4x-1

2x2

=2x（4分）
解得x=1，x=

1

4

，（x=-1不在定义域内，故舍去）
又f'（1）=2，f（1）=1，
f′(

1

4

)=

1

2

，f(

1

4

)=

1

16

，
g'（1）=2，g（1）=1；
g′(

1

4

)=

1

2

，g(

1

4

)=

1

16

．
①当x=1时，则l的方程为：y=2x-1
②当x=

1

4

时，又因为点(

1

4

，

1

16

)也在f（x）的图象上，
所以l的方程为y=

1

2

x-

1

16

．
综上所述直线l的方程为y=2x-1或y=

1

2

x-

1

16

．
（2）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，
要使f（x）在[2，4]为单调增函数，则f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4）（8分）
设u(x)=

1

x

-x（2≤x≤4），
因为u′(x)=-

1

x2

-1＜0（x＞0），
所以u（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴当2≤x≤4时，

2

1 x -x

∈[-

4

3

，-

8

15

]
所以要使a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4），
只须当a≥-

8

15

时即可，（10分）
同理要为f（x）单调减函数，则f′（x）≤0在[2，4]恒成立，
易得a≤-

4

3

，
综上，f（x）在[2，4]为单调函数，
则a的取值范围为a≤-

4

3

或a≥-

8

15

（12分）．

点评：对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，，则可得f′（x）≤0．