Question

【题目】已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1），a1=2，令bn= ．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn3n}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1）=3[（an﹣1）﹣（an+1﹣1）]，

∴ = ，即bn+1﹣bn= ．

∴数列{bn}是等差数列，首项为1，公差为 ．

∴bn=1+ （n﹣1）=

（2）解： =（n+2）3n﹣1．

∴数列{bn3n}的前n项和Sn=3+4×3+5×32+…+（n+2）3n﹣1．

∴3Sn=3×3+4×32+…+（n+1）×3n﹣1+（n+2）3n，

∴﹣2Sn=3+3+32+…+3n﹣1﹣+（n+2）3n=2+ ﹣（n+2）3n=2+ ，

∴Sn=

【解析】（1）由（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1）=3[（an﹣1）﹣（an+1﹣1）]，可得 = ，即bn+1﹣bn= ．利用等差数列的通项公式即可得出．（2） =（n+2）3n﹣1 ． 利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．