Question

若不等式组

x≥0 x+3y-4≥0 3x+y-4≤0

，所表示的平面区域被直线y=kx+

4

3

分成面积相等的两部分，则实数k的值为

7

3

．

Answer 1

分析：根据题意作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．直线y=kx+

4

3

一定经过点（0，

4

3

），由三角形面积公式及其性质，得到当直线经过BC的中点时平面区域被直线分为面积相等的两部分．由此结合直线的斜率公式加以计算，可得满足条件的k值．

解答：解：作出不等式组

x≥0 x+3y-4≥0 3x+y-4≤0

表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部，
其中A（0，

4

3

），B（1，1），C（0，4）
由图可知，直线y=kx+

4

3

恒经过点A（0，

4

3

），
当直线y=kx+

4

3

经过BC的中点D（

1

2

，

5

2

）时，
平面区域被直线分为面积相等的两部分．
当x=

1

2

，y=

5

2

时，代入直线的方程，可得k=

7

3

．
故答案为：

7

3

点评：本题给出一元二次不等式组表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，求直线的斜率之值．着重考查了一元二次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式和简单的线性规划等知识，属于中档题．