Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）试证数列{an-

1

3

×2n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式．
（2）在数列{b_n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
（3）①试证在数列{b_n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．
②在数列{b_n}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据由a_n+a_n+1=2ⁿ，代入

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

化简整理可知结果为常数，故可根据等比数列的定义判断数列{an-

1

3

×2n}是等比数列，公比为-1，首项为a1-

2

3

，进而可得等比数列的通项公式．
（2）先假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差数列，再根据等差中项的性质可得b_k-1+b_k+1=2b_k，再通过（1）求得的a_n，求得b_n代入整理得2^k-1=4（-1）^k-1，分k为奇数和偶数两种情况分别讨论，进而求得k．
（3）①要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁+b_s=2b_r，代入bn的通项公式整理得2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，分情况讨论，若s=r+1，当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时符合条件；若s≥r+2时根据r的范围推断等式不成立．综合可得答案．
②假设存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列．首先找到成等差数列的3项，根据b_t=b_2n+d和b_t=2^t-（-1）^t，进而整理得2^t-3×2^2n-1=（-1）^t-3．由于左端大于等于8；右边小于等于-2，进而推断等式不可能成立，最后综和即可得出结论．

解答：解：（1）证明：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ-a_n，
∴

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1，
∴数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列．
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，即an=

1

3

[2n-(-1)n]，
∴b_n=2ⁿ-（-1）ⁿ
（2）解：假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k-1，b_k，b_k+1（k∈N^*，k≥2）成等差数列，
则b_k-1+b_k+1=2b_k，即[2^k-1-（-1）^k-1]+[2^k+1-（-1）^k+1]=2[2^k-（-1）^k]，
即2^k-1=4（-1）^k-1
①若k为偶数，则2^k-1＞0，4（-1）^k-1=-4＜0，所以，不存在偶数k，使得b_k-1，b_k，b_k+1成等差数列．
②若k为奇数，则k≥3，∴2^k-1≥4，而4（-1）^k-1=4，所以，当且仅当k=3时，b_k-1，b_k，b_k+1成等差数列．
综上所述，在数列{b_n}中，有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列．
（3）①证明：要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁+b_s=2b_r，即3+2^s-（-1）^s=2[2^r-（-1）^r]，
即2^s-2^r+1=（-1）^s-2（-1）^r-3，①
（ⅰ）若s=r+1，在①式中，左端2^s-2^r+1=0，右端（-1）^s-2（-1）^r-3=（-1）^s+2（-1）^s-3=3（-1）^s-3，
要使①式成立，当且仅当s为偶数时成立．又s＞r＞1，且s，r为正整数，
所以，当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时，b₁，b_r，b_s成等差数列．
（ⅱ）若s≥r+2时，在①式中，左端2^s-2^r+1≥2^r+2-2^r+1=2^r+1，
由（2）可知，r≥3，∴r+1≥4，
∴2^s-2^r+1≥16；右端（-1）^s-2（-1）^r-3≤0（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”），
∴当s≥r+2时，b₁，b_r，b_s不成等差数列．
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列．
②假设存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列．
首先找到成等差数列的3项：由第（3）小题第①问，可知，b₁，b_2n-1，b_2n（n∈N*，且n≥2）成等差数列，
其公差d=b_2n-b_2n-1=[2²ⁿ-（-1）²ⁿ]-[2^2n-1-（-1）^2n-1]=2^2n-1-2，
∴b_t=b_2n+d=2²ⁿ-（-1）²ⁿ+2^2n-1-2=3×2^2n-1-3．
又b_t=2^t-（-1）^t，
∴3×2^2n-1-3=2^t-（-1）^t，
即2^t-3×2^2n-1=（-1）^t-3．②
∵t＞2n＞2n-1，∴t≥2n+1，
∴②式的左端2^t-3×2^2n-1≥2²ⁿ⁺¹-3×2^2n-1=2^2n-1≥8，
而②式的右端（-1）^t-3≤-2，
∴②式不成立．
综上所述，不存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列．

点评：本题主要考查等比数列的判定和等差数列的应用．数比数列常与对数函数、不等式等问题一块考查，故应综合掌握．