Question

已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为矩形，PA=

2

，AB=1，AD=2，O 是BC 的中点．
1）求证：平面PAO⊥平面POD．
2）求二面角P-OD-A 的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证平面PAO⊥平面POD，需证线面垂直（DO⊥平面PAO），结合已知，只需证明DO⊥AO即可．
（2）由于PO⊥OD，AO⊥OD，∠PAO即为所求．

解答：证明：PA⊥平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴PA⊥OD，
PA=

2

，AB=1，AD=2，O 是BC 的中点．
∴AB=BO=1，又四边形ABCD 为矩形，
∴∠AOD是直角
∴AO⊥OD，又PA⊥OD，PA∩AO=A，
∴DO⊥平面PAO，又DO?平面POD，
∴平面PAO⊥平面POD．
（2）∵平面POD∩AOD=OD，
由（1）知，DO⊥平面PAO，PO?平面PAO，
∴PO⊥OD，
又AO⊥OD（已证明），
∴∠PAO即为二面角P-OD-A的平面角．
∵PA=

2

，AO=

2

，∠PAO=

π

2

，
∴tan∠POA=1，
∴∠POA=

π

4

．
即二面角P-OD-A=

π

4

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，难点在于（2）中二面角P-OD-A 的平面角的分析确定，属于中档题．