Question

6．点（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥1\\ x+y≤3\end{array}\right.$，则$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范围为[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用分式的几何意义结合直线斜率的定义将$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$转化为直线斜率问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则x＞0，y＞0，$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则k＞0，
$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$\frac{k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$，
则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OB的斜率最小，OA的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（2，1），
则OB的斜率k=$\frac{1}{2}$，OA的斜率k=2，
即$\frac{1}{2}$≤k≤2，
设f（k）=k+$\frac{1}{k}$，则函数在$\frac{1}{2}$≤k≤1上递减，在1≤k≤2上递增，
则最小值为f（1）=1+1=2，
f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$=f（2），
则2≤f（k）≤$\frac{5}{2}$，
则2≤k+$\frac{1}{k}$≤$\frac{5}{2}$，
则$\frac{2}{5}$≤$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{1}{2}$，
即$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范围为[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]，
故答案为：[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的特点进行转化，结合直线斜率的公式以及基本不等式的性质是解决本题的关键．