Question

（本小题满分13分）

已知（其中e为自然对数的底数）。

   （1）求函数上的最小值；

   （2）是否存在实数处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，函数在区间上无最小值；

    当时，函数在区间上的最小值为；

    当时，函数在区间上的最小值为

（2）不存在，使曲线处的切线与轴垂直。

【解析】解：（1）

    令，得…………1分

    ①若，则在区间上单调递增，此时函数无最小值

……2分

    ②若时，，函数在区间上单调递减

    当时，，函数在区间上单调递增

    时，函数取得最小值…………4分

    ③若，则，函数在区间上单调递减

    时，函数取得最小值…………5分

    综上可知，当时，函数在区间上无最小值；

    当时，函数在区间上的最小值为；

    当时，函数在区间上的最小值为…………6分

   （2）

   

    ……7分

    由（1）可知，当

    此时在区间上的最小值为

    即…………9分

    当，

    …………11分

    曲线Y在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解

    而，即方程无实数解

    故不存在，使曲线处的切线与轴垂直…………13分