Question

设x∈R，x≠0．给出下面4个式子：①x²+1；②x²-2x+2；③x+

1

x

；④x²+

1

x2

．其中恒大于1的是

①④

．（写出所有满足条件的式子的序号）

Answer 1

分析：根据实数的性质x²≥0，可得x²+1≥1，再结合x≠0可对①进行判断；通过对x²-2x+2进行配方（x-1）²+1，可对②进行判断；可通过取x＜0时，③显然不满足条件．对于④：x²+

1

x2

≥2，当x=±1时取等号，满足条件．

解答：解：对于式子①：根据实数的性质x²≥0，可得x²+1≥1，再结合x≠0可得x²+1＞1；
对于式子②通过对x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，当x=1时取等号；
对于式子③，可通过取x＜0时，x+

1

x

＜0，③显然不满足条件．
对于式子④：x²+

1

x2

≥2，当x=±1时取等号，满足条件．故只有①④满足条件，
故答案为：①④．

点评：本题考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．此题考查学生掌握基本不等式求函数最小值所满足的条件，是一道综合题．