Question

（2012•济宁一模）已知函数g(x)=

1

3

ax3+

1

2

x2+b，f(x)=g′(x)ex，其中e为自然对数的底数
（I）若函数g（x）在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，求实数a的值；
（II）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（III）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

Answer 1

分析：（I）根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出切线的斜率，由导数的几何意义列出方程求出a的值；
（II）求出导函数后，将条件转化为“f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x≥0在[-1，1]上恒成立”，再进一步转化后构造g（x）=ax²+（2a+1）x+1，再分类讨论：a=0时和a≠0时，分别根据△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0和特值g（0）=1＞0，列出等价条件求出a的取值范围；
（III）根据条件将原方程等价于“ex-

2

x

-1=0”，再构造函数h（x）=ex-

2

x

-1，求导函数再确定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内的单调性，再由特殊的函数值确定方程f（x）=x+2有且只有两个实数根的区间，故可得k的值．

解答：解：（I）由题意得，g′（x）=ax²+x，
∵在点（1，g（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，
∴在点（1，g（1））处的切线斜率为-

1

2

，即g′（1）=a+1=-

1

2

，
解得a=-

3

2

，
（II）由（I）得，f（x）=g′（x）e^x=（ax²+x）e^x，
则f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，
∴f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x≥0在[-1，1]上恒成立，
即ax²+（2a+1）x+1≥0在[-1，1]上恒成立，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

3a+2≥0 -a≥0

，得-

2

3

≤a＜0，
综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]，
（III）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，
所以原方程等价于ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，
因为h′（x）=ex+

2

x2

＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数k的所有值为{-3，1}．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，以及证明不等式转化为恒成立问题等，考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数方法．