Question

已知函数f（x）=-x²-2x，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

若方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有4个，则a的取值范围（　　）

• A、[1，

  5

  4

  )
• B、[1，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、(-

  5

  4

  ，1]

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意化简f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≤1；从而讨论f（x）在分段函数的哪一段，再分段讨论各自的解的个数，最后综合即可．

解答： 解：f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≤1；
当x≤0时，g（x）≤1；
故当a≤1时，
f（x）+1=a；
f（x）=a-1≤0；
故f（x）=a-1有两个解；
②当0＜-（x+1）²+1≤1，即0＜x＜2时；
f（x）+

1

4f(x)

≥1；
（当且仅当f（x）=

1

2

时，等号成立）
且当f（x）∈（0，

1

2

]时，f（x）+

1

4f(x)

∈[1，+∞）；
当f（x）∈[

1

2

，1]时，f（x）+

1

4f(x)

∈[1，

5

4

]；
故当a=1时，f（x）=

1

2

，有两个解；
当1＜a＜

5

4

时，f（x）=b∈（0，

1

2

）或f（x）=c∈（

1

2

，1）；
分别有两个解，共4个解；
当a=

5

4

时，f（x）=b∈（0，

1

2

）或f（x）=1；
故有三个解；
综上所述，当1≤a＜

5

4

时，方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有4个；
故选A．

点评：本题考查了分段函数与复合函数的根的个数的判断，分类比较困难，属于中档题．