Question

如图，l₁，l₂是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线l₁上，点A， B在直线l₂上，M，N分别是线段AB，AP的中点，且PC=AC=a，PA=a，
(Ⅰ)证明：PC⊥平面ABC；
(Ⅱ)设平面MNC与平面PBC所成的角为θ(0°＜θ≤90°)。现给出下列四个条件：①CM=AB；②AB=a；③CM⊥AB；④BC⊥AC。请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值，并求解．

Answer 1

解：(Ⅰ)在△PAC中，∵PC=AC=a，PA=a， ∴PC2+AC2=PA2，∴PC⊥AC， ∵l1，l2是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线l1上，点A，B 在直线l2上， ∴PC⊥AB， 又AC∩AB=A， ∴PC⊥平面ABC．
(Ⅱ)方案一：选择②④可确定cosθ的大小． ∵AC⊥BC，且AB=a，AC=a， ∴BC=a，以C为坐标原点，的方向为 x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系C-xyz， 则， 又M，N分别是AB，AP的中点， ∴， ∵CA⊥平面PBC， ∴是平面PBC的一个法向量， 设平面MNC的法向量， 由，得， 取x=1，得为平面MNC的一个法向量， ∴， ∴。