精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

解答题

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)

求双曲线C的方程;

(2)

若Q是双曲线C上的任一点,F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

(3)

设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线L经过M(-2,0)及AB的中点,求直线L在y轴上的截距b的取值范围.

答案:
解析:

(1)

解:设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0

∵该直线与圆相切,

∴双曲线C的两条渐近线方程为……………………………………………2分

故设双曲线C的方程为,又∵双曲线C的一个焦点为

,∴双曲线C的方程为……………………………4分

(2)

解:若Q在双曲线的右支上,则延长QF2到T,使|QT|=|OF1|

若Q在双曲线的左支上,则在QF2上取一点T,使|QT|=|QF1|

根据双曲线的定义|TF2|=2,所以点T在以F2为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是①………………………………………6分

由于点N是线段F1T的中点,设N(x,y),T()

代入①并整理得点N的轨迹方程为…………………8分

(3)

解:由

直线与双曲线左支交于两点,等价于方程上有两个不等实根.

因此……………………………………………10分

又AB中点为

∴直线L的方程为……………………………………12分

x=0,得

∴故b的取值范围是………………………14分


练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:成功之路·突破重点线·数学(学生用书) 题型:044

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,椭圆上各点到直线l:x-y+=0的最短距离为1,求椭圆的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:走向清华北大同步导读·高二数学(上) 题型:044

已知点P在直线x=2上移动,直线l通过原点,并且与OP垂直,通过A(1,0)及点P的直线和直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和焦点坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:中学教材标准学案 数学 高二上册 题型:044

解答题

已知椭圆=1的焦点为F1、F2,能否在x轴下方的椭圆弧上找到一点M,使M到下准线的距离|MN|等于点M到焦点F1、F2的距离的比例中项?若存在,求出M点坐标;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:潮阳一中2007届高三摸底考试、文科数学 题型:044

解答题

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)

求双曲线C的方程;

(2)

若Q是双曲线C上的任一点,F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

(3)

设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线L经过M(-2,0)及AB的中点,求直线L在y轴上的截距b的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案