Question

2．若椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与椭圆有四个交点，且以这四个交点为顶点的四边形的面积为16$\sqrt{3}$，则b=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由椭圆的离心率得到a，b的关系，代入椭圆方程可得x²+3y²-3b²=0．联立直线方程和椭圆方程，求出交点坐标的绝对值，代入矩形面积求得答案．

解答 解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，即a²=3b²．
则椭圆方程为x²+3y²-3b²=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-3{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{|x|=\frac{\sqrt{6}}{2}b}\\{|y|=\frac{\sqrt{2}}{2}b}\end{array}\right.$．
∴4|x||y|=4•$\frac{\sqrt{6}}{2}b•\frac{\sqrt{2}}{2}b=16\sqrt{3}$，解得：b=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，把椭圆方程化为仅含字母系数b是解答该题的关键，是中档题．