【题目】已知椭圆
的离心率为
，椭圆
截直线
所得的线段的长度为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆交于
两点，点
是椭圆上的点，
是坐标原点，若
，判定四边形
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆
截直线
所得的线段的长度为
，可得椭圆过点
，结合离心率即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论：当直线
的斜率不存在时，四边形
的面积为
； 当直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由
得
，代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据
写出面积的表达式整理即可得到定值。
(Ⅰ)由
解得
得椭圆的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线
的方程为
或
，
此时四边形的面积为．
当直线的斜率存在时，设直线方程是
，联立椭圆方程
，
点
到直线的距离是
由得
因为点
在曲线上，所以有
整理得
由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
由得
, 故四边形的面积是定值，其定值为．
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【题目】已知椭圆
经过点
，右焦点到直线
的距离为3．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线
，
分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点
．
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【题目】已知函数
，其中
.
（1）当
时，求函数
在
处的切线方程；
（2）记函数的导函数是
，若不等式
对任意的实数
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）设函数
，
是函数
的导函数，若函数存在两个极值点
，
，且
，求实数的取值范围.
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【题目】2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．
（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评 | 对服务不满意 | 合计 | |
对商品好评 | 140 | ||
对商品不满意 | 10 | ||
合计 | 200 |
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．
①求随机变量X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附：
，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
底面，
，
为线段
的中点．
（1）若
为线段
上的动点，证明：平面
平面
；
（2）若为线段，
，
上的动点（不含
，
），
，三棱锥
的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
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【题目】已知曲线
上任意一点
满足
，直线
的方程为
，且与曲线交于不同两点
，
.
（1）求曲线的方程；
（2）设点
，直线
与
的斜率分别为
，
，且
，判断直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标.
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【题目】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE﹣DCF和一个四棱锥P﹣ABCD组合而成，其中EF＝EA＝EB＝2，AE⊥EB，PA＝PD
，平面PAD∥平面EBCF．
（1）证明：平面PBC∥平面AEFD；
（2）求直线AP与平面PCD所成角的正弦值．
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