Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos（A+C）=

1

2

，a=2csinA．
（1）求cosC的值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）=sin2x+4cosAcos²x的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式及内角和定理化简cos（A+C）求出cosB的值小于0，得到B为钝角，求出B度数，利用正弦定理化简a=2csinA，求出sinC的值，确定出C度数，即可求出cosC的值；
（2）由B与C的度数求出A的度数，代入f（x）中变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）最大值．

解答：解：（1）∵cos（A+C）=-cosB=

1

2

，
即cosB=-

1

2

，
∴B=120°，
利用正弦定理化简a=2csinA得：sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=

1

2

，
∴C=30°，
则cosC=cos30°=

3

2

；
（2）∵B=120°，C=30°，∴A=30°，
∴f（x）=sin2x+4cosAcos²x=sin2x+2

3

•

1+cos2x

2

=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
即0≤2sin（2x+

π

3

）+

3

≤2+

3

，
则f（x）的最大值为2+

3

．

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．