Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1 （I）求证数列{an+1}是等比数列；
（II）设cn=n（an+1），求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1， ∴由an+1+1=2（an+1），得 =2，
∴{an+1}是公比为2的等比数列．
解：（II）由（I）知，数列{an+1}的首项为a1+1=2，公比为2，
， ，
，①
∴2Tn=21+22+…+（n﹣1）2n+n2n+1 ，
两式相减，得：
﹣Tn=2+22+…+2n﹣n2n+1
= ﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，
∴Tn=（n﹣1）2n+1+2
【解析】（I）由an+1+1=2（an+1），得 =2，由此能证明{an+1}是公比为2的等比数列．（II）数列{an+1}的首项为2，公比为2，从而 ， ，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．