Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）满足：
（1）函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称；
（2）对x∈R，f（ ﹣x）=f（ +x）成立
（3）当x∈（﹣ ，﹣ ]时，f（x）=log2（﹣3x+1），则f（2011）=（ ）
A.﹣5
B.﹣4
C.﹣3
D.﹣2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数f（x）是奇函数，
由f（ ﹣x）=f（ +x）得f（ ﹣x）=f（ +x）=﹣f（x﹣ ），
则f（ +x）=﹣f（x），即f（x+3）=﹣f（ ）=f（x），
则函数f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2011）=f（671×3+1）=f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x∈（﹣ ，﹣ ]时，f（x）=log2（﹣3x+1），
∴f（﹣1）=log2（3+1）=log24=2，
则f（2011）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，
故选：D
【考点精析】本题主要考查了函数的值的相关知识点，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．