Question

（2012•姜堰市模拟）若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品．
（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）每次取到一只次品的概率P₁=

C 1 3

C 1 12

=

1

4

，由此能求出有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率．
（2）依题知X的可能取值为0、1、2、3，且P（X=0）=

3

4

，P（X=1）=

9

44

，P（X=2）=

9

220

，P（X=3）=

1

220

，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答：解：（1）每次取到一只次品的概率P₁=

C 1 3

C 1 12

=

1

4

，
则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率：
P=

C

2 3

（

1

4

）²•（1-

1

4

）=

9

64

（5分）
（2）依题知X的可能取值为0、1、2、3（6分）
且P（X=0）=

9

12

=

3

4

，
P（X=1）=

3

12

×

9

11

=

9

44

，
P（X=2）=

3

12

×

2

11

×

9

10

=

9

220

，
P（X=3）=

3

12

×

2

11

×

1

10

×

9

9

=

1

220

（8分）
则X的分布列如下表：

X	0	1	2	3
P	3 4	9 44	9 220	1 220

（10分）
EX=0×

3

4

+1×

9

44

+2×

9

220

+3×

1

220

=

3

10

（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运算概率知识进行解题．