Question

设0＜b＜1+a，若关于x 的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集中的整数恰有3个，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：将不等式变形为[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为 

-b

a-1

＜x＜

b

a+1

＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．

解答：解：关于x 的不等式（x-b）²＞（ax）²   即 （a²-1）x²+2bx-b²＜0，∵0＜b＜1+a，
[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，
∴不等式的解集为 

-b

a-1

＜x＜

b

a+1

＜1，所以解集里 的整数是-2，-1，0 三个
∴-3≤-

b

a-1

＜-2，
∴2＜

b

a-1

≤3，2a-2＜b≤3a-3，
∵b＜1+a，
∴2a-2＜1+a，
∴a＜3，
综上，1＜a＜3，
故答案为1＜a＜3．

点评：本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．