Question

（2012•贵州模拟）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将三角形BAO沿AO折起，使B点与图中B₁点重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）设P为线段B₁A的中点，求CP与平面B₁OA所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面AB₁C的法向量

n

=(1，2，2)，平面B₁CO的法向量为

m

=（1，0，0），利用向量的夹角公式，可得二面角A-BC₁-O的大小；
（Ⅱ）确定

PC

=(-1，1，-

1

2

)，平面B₁OA的法向量为（0，1，0），即可求得CP与平面B₁OA所成的角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，OA，OC，OB₁两两垂直，分别以OA，OC，OB₁为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，则
A（2，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），∴

AB1

=(-2，0，1)，

AC

=(-2，1，0)
设平面AB₁C的法向量为

n

=（x，y，z），则由

n • AB1 =0 n • AC =0

，可得

-2x+z=0 -2x+y=0

，可取

n

=(1，2，2)
∵平面B₁CO的法向量为

m

=（1，0，0）
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

1

1×3

=

1

3

故二面角A-BC₁-O的大小为arccos

1

3

（Ⅱ）∵P为线段B₁A的中点，∴P（1，0，

1

2

）
∴

PC

=(-1，1，-

1

2

) 
∵平面B₁OA的法向量为（0，1，0）
∴CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为

(0，1，0)•(-1，1，- 1 2 )

1× 1+1+ 1 4

=

2

3

．

点评：本题考查面面角，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确建立坐标系，确定平面的法向量是关键，属于中档题