Question

【题目】已知函数f（x）=x+ ，且此函数图象过点（1，5）．
（1）求函数m的值；
（2）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）过点（1，5），

∴1+m=5，解得m=4．

（2）解：f（x）在[2，+∞）是单调递增．

证明：设x1，x2∈[2，+∞）且x1＜x2，

则 = ．

∵x1，x2∈[2，+∞）且x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞4，x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[2，+∞）是单调递增．

【解析】（1）把点（1，5）代入f（x）=x+ 即可解得；（2）f（x）在[2，+∞）是单调递增．利用单调递增函数的定义即可证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数的零点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．