Question

如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=

2

，则二面角A-PB-C的余弦值大小为

 

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间角

分析：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系C-xyz，求出平面APB的法向量，平面PBC的法向量，利用向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．

解答： 解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系C-xyz，
∵A（1，0，0），B（0，

2

，0），C（0，0，0），P（1，0，1），
∴

AP

=（0，0，1），

PB

=（-1，

2

，-1），

CB

=（0，

2

，0），
设平面APB的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
平面PBC的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），
则

z1=0 -x1+ 2 y1-z1=0

2 y2=0 -x2+ 2 y2-z2=0

∴取

n1

=（2，

2

，0），

n2

=（-1，0，1），∴cos＜

n1

，

n2

＞=

-2

6 ×2

=-

3

3

，
∴二面角A-PB-C的余弦值为

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的运算，考查计算能力．