Question

2．已知函数f（x）是二次函数，函数g（x）=x²-2，f（x）+g（x）是奇函数，且方程f（x）=3x+2有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求x取何值时，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使得函数f（x）的定义域和值域的分别为[m，n]和[2m，2n]、如果存在，求出m，n的值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设f（x）=ax²+bx+c，可得f（x）+g（x）的解析式，又由f（x）+g（x）是奇函数，分析可得a、c的值，结合方程f（x）=3x+2有两个相等的实数根，分析可得b的值，即可得函数f（x）的解析式；
（2）分析可得，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方，即f（x）-g（x）＞0恒成立，即-x²+3x+2＞x²-2的解集为R，由二次函数的性质分析可得答案；
（3）由（1）可得f（x）的表达式，分析可得其对称轴为x=$\frac{3}{2}$，分①$n≤\frac{3}{2}$、②$m≥\frac{3}{2}$、③$m＜\frac{3}{2}＜n$讨论其在[m，n]上的值域，综合可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x）+g（x）=（a+1）x²+bx+c-2
又f（x）+g（x）是奇函数，
必有a+1=0且c-2=0，
故a=-1，c=2…（2分）
故f（x）=-x²+bx+2，则-x²+bx+2=3x+2，
即方程-x²+（b-3）x=0有两个相等的实根，故b=3
所以f（x）=-x²+3x+2…（4分）
（2）根据题意，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方，即f（x）＞g（x）恒成立，
即-x²+3x+2＞x²-2的解集为R，
由f（x）的图象和g（x）的图象可得，
当$\frac{{3-\sqrt{41}}}{4}＜x＜\frac{{3+\sqrt{41}}}{4}$时，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的上方…（8分）
（3）$f（x）=-{x^2}+3x+2=-{（x-\frac{3}{2}）^2}+\frac{17}{4}$
当$n≤\frac{3}{2}$时，得$\left\{{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}}\right.$，又因为m＜n，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=2}\end{array}}\right.$，与$n≤\frac{3}{2}$矛盾，故舍去…（10分）
当$m≥\frac{3}{2}$时，得$\left\{{\begin{array}{l}{f（m）=-{m^2}+3m+2=2n，（1）}\\{f（n）=-{n^2}+3n+2=2m，（2）}\end{array}}\right.$，
作差得m=5-n，代入（1）式得m²-5m+8=0，
上述方程无解，即不存在符合题意的m，n…（12分）
当$m＜\frac{3}{2}＜n$时，则$f（\frac{3}{2}）=2n$，即$n=\frac{17}{8}$若f（n）=2m，即$2m=f（\frac{17}{8}）=\frac{247}{64}$，得$m=\frac{247}{128}＞\frac{3}{2}$，故不符合题意…（14分）
若f（m）=2m，得m=-1或2，舍去正值，
此时m=-1，f（-1）=-2，而$f（n）=f（\frac{17}{8}）=\frac{247}{64}＞f（-1）=-2$故m=-1，$n=\frac{17}{8}$符合题意…（16分）

点评 本题考查函数性质的综合运用，涉及函数的定义域、值域以及解析式的求法、函数的奇偶性、函数恒成立问题等多个知识点，解题时注意结合函数的图象性质进行分析．