Question

求和点O（0，0），A（c，0）距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设这样的点是P（x，y），则PO²=（x-0）²+（y-0）²=x²+y²，PA²=（x-c）²+（y-0）²=x²-2cx+c²+y²，从而|2cx-c²|=c，由此能求出点的轨迹方程．

解答： 解：设这样的点是P（x，y），
则PO²=（x-0）²+（y-0）²=x²+y²，
PA²=（x-c）²+（y-0）²=x²-2cx+c²+y²，
所以|PO²-PA²|=c，
|2cx-c²|=c，
两边平方，得：
4c²x²-4c³x+c⁴=c²，
若c=0，则OA重合，显然不合题意，
因为这样P就是平面内任意一点，
所以c≠0，
所以4x²-4cx+c²-1=0
[2x-（c+1）][2x-（c-1）]=0
x=

c+1

2

，或x=

c-1

2

，

所以所求点的轨迹方程是两条直线：x=

c+1

2

，或x=

c-1

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．