Question

8．已知a∈R，且在（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大．
（1）若a=1，求展开式中的常数项；
（2）若展开式中x³的系数为63，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得 ${C}_{n}^{4}$=${C}_{n}^{5}$最大，∴n=9，再根据a=1，通项公式 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•（-1）^r•${x}^{9-\frac{3r}{2}}$，令x得幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项．
（2）展开式中的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r=4，利用通项公式可得展开式中x³的系数，再根据次系数为 63，求得a的值．

解答 解：（1）∵在（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，第5项与第6项的二项式系数最大，∴${C}_{n}^{4}$=${C}_{n}^{5}$最大，∴n=9，
a=1，根据展开式中的通项公式 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•（-1）^r•${x}^{9-\frac{3r}{2}}$，令9-$\frac{3r}{2}$=0，求得r=6，
故展开式的常数项为${C}_{9}^{6}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{21}{2}$．
（2）展开式中的通项公式 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•（-a）^r•${x}^{9-\frac{3r}{2}}$ 中，令9-$\frac{3r}{2}$=3，
求得r=4，故展开式中x³的系数为${C}_{9}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{5}$•（-a）⁴=63，求得a=±2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．