Question

（2007•嘉定区一模）已知向量

a

={sinx+cosx，2(cosx-1)}，

b

={sinx+cosx，cosx+1}，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最大值，并求当f（x）取得最大值时x的集合；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通过

a

和

b

的数量积表示出函数的解析式，进而利用两角和公式和二倍角公式化简整理，进而根据正弦函数f（x）的最大值，并求当f（x）取得最大值时x的集合；
（2）根据x的范围确定2x+

π

4

的范围，进而利用正弦定理的单调性求得函数的最值，求得函数的值域．

解答：解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²+2（cos²x-1）=1+2sinxcosx+2cos²x-2=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，（3分）
∴函数f（x）的最大值是

2

，此时x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．（6分）
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，（8分）
则sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，（12分）
所以，函数f（x）的值域是[-1，

2

]．  （14分）

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，和两角和公式，二倍角公式的运用．三角函数的基本公式较多，注意多积累．