Question

已知

a

，

b

是同一平面内的两个向量，其中

a

=（1，2），|

b

|=

5

2

且

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直．
（1）求

a

与

b

的夹角θ；
（2）求|

a

-

b

|．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=0，求出

a

与

b

的夹角θ的值；
（2）由(

a

-

b

)2求出|

a

-

b

|的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（1，2），|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直；
∴（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2
=2×（1²+2²）+3×

12+22

×

5

2

cosθ-2×(

5

2

)2
=10+

15

2

cosθ-

5

2

=0，
∴cosθ=-1，
∴θ=π，
即

a

与

b

的夹角θ为π；
（2）∵(

a

-

b

)2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2
=(

5

)2-2×

5

×

5

2

cosπ+(

5

2

)2
=5+5+

5

4

=

45

4

，
∴|

a

-

b

|=

45 4

=

3

2

5

．

点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，考查了求向量的夹角与模长的应用问题，是基础题目．