Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E为棱PC上的点，且平面BDE⊥平面PBC．

（1）求证：E为PC的中点；
（2）求二面角A-BD-E的大小．

Answer 1

解法一：（1）证明：如图，作CF⊥BE，垂足为F，

由平面BDE⊥平面PBC，
则CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．
因为PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，
CD为DE在平面ABCD内的射影，
所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．
于是DE⊥PC，又PD＝PC，所以E为PC的中点．………………6分
（2）作EG⊥DC，垂足为G，则EG∥PD，从而EG⊥平面ABCD．
作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，则BD⊥EH，
故∠EHG为二面角A－BD－E的平面角的补角．…………………9分
不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2，
在Rt△EGH中，EG＝PD＝1，
GH＝＝，
∴tan∠EHC＝＝．
因此二面角A－BD－E的大小为－arctan．……………………12分
解法二：不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2．
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

则D(0，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．
（1）证明：设＝，则E(0，，)．
设a＝ (x1，y1，z1)为面PBC的法向量，
则a⊥，a⊥，
又＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，
∴a＝x1＝0，a＝－2y1＋2z1＝0，
取a＝(0，1，1)．
设b＝(x2，y2，z2)为面BDE的法向量，
则b⊥，b⊥，
又＝(1，2，0)，＝(0，，)，
∴b＝x2＋2y2＝0，b＝＋＝0，
取b＝(，，1)．
∵平面BDE⊥平面PBC，
∴a·b＝＋1＝0，＝1．
所以E为PC的中点．…………………………………………6分
（2）由（Ⅰ）知，b＝(2，－1，1)为面BDE的法向量，
又c＝(0，0，1)为面ADB的法向量，
∵cos<b，c>＝＝，
所以二面角A－BD－E的大小为－arccos．………………12分

略