Question

已知函数f（x）=-x²的图象在P（a，-a²）（a≠0）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则实数a的值为（　　）

A．2

B．-4

C．±2

D．±4

Answer 1

分析：根据曲线的解析式求出导函数，把x=a代入导函数中即可求出切线的斜率，根据切点的坐标和求出的斜率写出切线的方程，进而求出切线l与两坐标轴的交点坐标，即可求出切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积，从而建立关于a的方程即可求出a值．

解答：解：依题意得，f'（x）=-2x
∴f'（a）=-2a，
∴切线斜率为-2a，
∴切线方程为：y+a²=-2a（x-a），
在切线方程中，当x=0时，y=a²；
当y=0时，x=

a

2

，
∴切线与x，y轴的交点坐标分别为：（

a

2

，0），（0，a²）．
∴该切线与坐标轴所围成的三角形面积为：

1

2

×

a

2

×a²=2，
解得a=±2．
故选C．

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．