【题目】已知函数f(x)=alnx+ x2﹣(1+a)x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥0对定义域中的任意x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对任意正整数m,n,不等式 + +…+ > 恒成立.
【答案】
(1)解:∵f′(x)= +x﹣(1+a),
①当a≤0时,若0<x<1,则f′(x)<0,
故函数f(x)的单调减区间是(0,1);
若x>1,则f′(x)>0,故函数f(x)的增区间是(1,+∞).
②当0<a<1时,函数f(x)的单调减区间是(a,1);
单调增区间是(0,a),(1,+∞).
③当a=1时,则f′(x)= ≥0,
故函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
④当a>1时,函数f(x)的单调递减区间是(1,a);
函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+∞).
(2)解:由于f(1)=﹣ ,
当a>0时,f(1)<0,
此时f(x)≥0对定义域内的任意x不是恒成立的.
当a≤0时,由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上的极小值,也是最小值为f(1)=﹣ ,
此时,f(1)≥0,解得a≤﹣ ,
故实数a的取值范围是(﹣∞,﹣ ).
(3)解:由(2)知,当a=﹣ 时,
f(x)=﹣ lnx+ x2﹣ x≥0,当且仅当x=1时,等号成立,
这个不等式等价于lnx≤x2﹣x.
当x>1时,变换为 > = ﹣ ,
因此不等式左边>( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )= ﹣ = ,
从而得证.
【解析】(1)求出f(x)的导数,由此根据a的取值范围进行分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间.(2)由于f(1)=﹣ ,当a>0时,f(1)<0,此时f(x)≥0对定义域内的任意x不是恒成立的.当a≤0时,由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上取得最小值为f(1)=﹣ ,由此能求出实数a的取值范围.(3)由(2)知,当a=﹣ 时,f(x)≥0,当且仅当x=1时,等号成立,这个不等式等价于lnx≤x2﹣x.由此能够证明对任意的正整数m,n,不等式恒成立.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥﹣2的解集M;
(Ⅱ)对任意x∈[a,+∞],都有f(x)≤x﹣a成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知四数a1 , a2 , a3 , a4依次成等比数列,且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则正数q的取值集合是 .
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【题目】解答题
(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;
(2)设f(x)=x2﹣x+1,实数a满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2(|a+1|)
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【题目】已知{an}是各项均为正数的等比数列(公比q>1),bn=log2an , b1+b2+b3=3,b1b2b3=﹣3,则an=( )
A.
B.
C.
D. 或
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形ACC1A1和BCC1B1均为正方形,且所在平面互相垂直.
(Ⅰ)求证:BC1⊥AB1;
(Ⅱ)求直线BC1与平面AB1C1所成角的大小.
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax有极值1,这里e是自然对数的底数.
(1)求实数a的值,并确定1是极大值还是极小值;
(2)若当x∈[0,+∞)时,f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立,求实数m的取值范围.
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